Демпфирование по Релею в ПК ЛИРА-САПР

Уравнение движения системы можно представить в виде:

формула 1.PNG(1)

где [C] – матрица демпфирования, [M] – матрица массы, [K] – матрица жёсткости, {Pt} – вектор узловых нагрузок, как функция от времени,{u...PNG} – вектор узловых ускорений, {u..PNG} – вектор узловых скоростей, {u} – вектор узловых перемещений.

Демпфирование по Рэлею известно, как пропорциональное демпфирование, которое выражается через линейную комбинацию матриц массы и жесткости.

формула 2.PNG (2),

гдеa.PNG - коэффициент пропорциональности массы (с-1),b.PNG - коэффициент пропорциональности жёсткости (с).

С помощью ортогонального преобразования уравнение (1) сводится к виду

формула 3.PNG (3)

Уравнение (3) сводится к уравнению

формула 4.PNG (4),

где {E.PNG} – перемещения в преобразованных координатах;C.PNG – коэффициент демпфирования;w.PNG – собственная частота; P(t) – вектор узловых нагрузок в преобразованных координатах.

Матрица демпфирования в таком случае представим в виде

  формула 5.PNG(5)

Перепишем (5)

формула 6.PNG (6)

Если система имеет 2 степени свободы, уравнение (6) сводится к

формула 7.PNG (7)

Для нахождения коэффициентовa.PNG иb.PNG необходимо решить уравнение (7).

Однако, решая системы с большим количеством степеней свободы (больше двух), проблематично определить такие коэффициенты, которые будут удовлетворять всем n-уравнениям. Но нам это и ненужно.

Как показано в уравнении (5), ортогональное преобразование матрицы демпфирование сводит матрицу [C] к форме

формула 8.PNG (8)

Разделим (8) наwi.PNG и получим

формула 9.PNG (9)

Из уравнения (9) видно, что коэффициент демпфирования пропорционален частоте системы. График функции (9) имеет вид как на рисунке 1. Обратим внимание, что для первых (низших) частот график функции не линеен, а для более высоких – линеен.

Рисунок 1. График зависимости коэффициента демпфирования от частоты.PNG

Рисунок 1. График зависимости коэффициента демпфирования от частоты.

Из рис. 1 видно, что для некоторого y = a/x + bx, когдаx – небольшой, первое выражение a/x - преобладающее на начальном этапе и по мере возрастанияx -уменьшается и приближается к нулю, а выражение bx – возрастает. Другими словами, если система очень гибкая (гибкие антенны, очень длинные сваи, высокие трубы) и имеет небольшие низшие частоты, то она будет показывать нелинейные свойства демпфирования и будет меняться к линейным по мере возрастания собственных частот.

Однако, большинство конструкций обычно проектируются так, чтобы иметь достаточную жесткость, и, соответственно, имеют значительно более высокие низшие частоты, а выражение b.PNG/2 будет доминирующим. Более того, принимая тот факт, что нелинейный фактор будет слишком мал для стандартных конструкций не будет ошибочным предположить, что коэффициент демпфирования каждой моды линейно зависим от частоты системы.

Для системы, которая имеет большое количество степеней свободы, только первые несколько частот соответствуют значительному динамическому влиянию.

Решим тестовый пример колебания двух рам. Геометрические и физические характеристики идентичны. К обеим рамам приложена одинаковая динамическая нагрузка.

В ПК ЛИРА-САПР реализована возможность учета демпфирования по Рэлею через коэффициентыa.PNG и b.PNG. Зная частоты собственных колебаний, а так же допустив, чтоCC.PNG решим уравнение (7).

формула 8(1).PNG (8),

Откуда, узнаемa.PNG = 3.383 иb.PNG = 0.00206. И зададим их как на рисунке 2.

Рис. 2. Диалоговое окно для задания коэффициентов Рэлея.PNG

Рис. 2. Диалоговое окно для задания коэффициентов Рэлея.

Рис. 3. Мозаика коэффициентов a.PNG

Рис. 3. Мозаика коэффициентов a.PNG.

Рис. 4. Мозаика коэффициентов b.PNG

Рис. 4. Мозаика коэффициентов b.PNG.
.easyhtml5video .eh5v_script{display:none}

Рассмотрим результаты расчета (перемещения вдоль оси X) указанных на рис. 5 точек 104 и 336.

Рисунок 5..PNG

Рисунок 5.

Рисунок 6. Перемещение точки 104 вдоль оси X.PNG

Рисунок 6. Перемещение точки 104 вдоль оси X.

Рисунок 7. Перемещение точки 336 вдоль оси X..PNG

Рисунок 7. Перемещение точки 336 вдоль оси X.

Рисунок 8. Сравнение результатов расчета.PNG

Рисунок 8. Сравнение результатов расчета.

Если сравнить результаты расчета, то мы увидим, что во время движения первой схемы (левой на рис. 5) энергия в ней совершенно не рассеивается, и колебания никогда не прекратятся, чего не может быть на практике. Для того, чтобы учитывать затухание во всей конструкции, в ПК ЛИРА-САПР реализовано демпфирование по Рэлею. В котором матрица демпфирования заполняется через коэффициенты пропорциональности матрицам массы и жесткости.

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

  • 2.4K
Поделиться публикацией:

Богдан Писаревский

Инженер-программист компании «ЛИРА САПР».
Разработка программных комплексов.

Другие публикации этого автора

Мария Барабаш

Директор «ЛИРА САПР», руководитель проекта BIM-технологии на основе программных комплексов семейства ЛИРА,
доктор технических наук, профессор - специальность "Строительные конструкции".

Другие публикации этого автора

Анатолий Пикуль

Инженер-аналитик компании «ЛИРА САПР».
Ассистент кафедры металлических и деревянных конструкций Киевского национального университета строительства и архитектуры

Другие публикации этого автора


Комментарии