Триангуляция. Построение конечноэлементных сеток


Дискретизация
Изначально все объекты строительной механики представляют собой непрерывную (континуальную) среду. Определить параметры НДС (перемещения, напряжения, усилия) во всех точках непрерывной среды, как правило, не представляет возможным, так как количество этих точек общем случае бесконечно. Все численные методы основаны на назначении конечного числа точек, в которых находятся искомые параметры НДС. Замена бесконечного числа точек континуальной среды конечным числом точек (узлов) называется дискретизацией.
Триангуляция
Континуальная среда заменяется на набор подобластей (треугольные, четырехугольные, тетраэдры, параллелепипеды и др.) в вершинах которых находятся назначенные узлы. Таким образом, континуальная среда заменяется дискретной средой, состоящей из отдельных подобластей. Такая замена называется ТРИАНГУЛЯЦИЯ (ТРИАНГУЛЯЦИЯ - от лат. triangulus треугольник - определение взаимного расположения точек на поверхности при помощи построения сети треугольников).

Построение конечно элементных сеток являются важным этапом решения задачи по определению НДС конструкций. Этот этап связан с удовлетворением ряда противоречивых требований.

С одной стороны достаточно густая сетка позволяет достичь требуемую точность решения задачи. С другой стороны чрезмерно густая сетка увеличивает время решения задачи и может приводить к плохой обусловленности матрицы канонических уравнений  МКЭ, а, следовательно, и к большим погрешностям при факторизации этой матрицы.

Рис. 1. Фрагмент теста сходимости перемещений середины свободного края цилиндрической оболочки при различных размерах сетки КЭ

Проверка сходимости КЭ изгибаемой плиты для круговой области

Цилиндрическая оболочка под собственным весом

Замкнутая круговая цилиндрическая оболочка под действием самоуравновешенной системы двух сосредоточенных сил

Сетка
4х4 8х8 16х16 32х32 64х64 Эталон
Перемещения в точке В для полной оболочки wB, м -3.357‡10-2 -3.561‡10-2 -3.644‡10-2 -3.657‡10-2 -3.663‡10-2 -3.70‡10-2
Погрешность, % 9.243 3.757 1.514 1.162 1.000 -

Важным фактором является форма конечных элементов. Так четырехугольные конечные элементы являются более точными по сравнению с треугольными. Равносторонние конечные элементы более предпочтительны по сравнению с элементами имеющими ярко выраженную неравномерность сторон. Последние ухудшают обусловленность матрицы канонических уравнений МКЭ, поэтому при триангуляции следует отдавать предпочтение равносторонним КЭ

Рис. 2. Фрагмент теста сходимости вертикальные перемещения в центре плиты при различных параметрах сетки КЭ (квадратная шарнирно опертая и защемленная по контуру изгибаемая плита, нагруженная сосредоточенной нагрузкой в центре)

Проверка сходимости КЭ изгибаемой плиты для квадратной области

Проверка сходимости КЭ изгибаемой плиты для прямоугольной области



Регулярная сетка Нерегулярная сетка
4х4 8х8 16х16 32х32 64х64 Эталон
w х106, м 12.271 11.813 11.664 10.679 11.295 11.512
wэталон х106, м 11.60 11.60 11.60 11.60 11.60 11.60
Погрешность, % 5.78 1.84 0.55 7.94 2.63 0.76


Методы триангуляции в ЛИРА-САПР

В ПК ЛИРА-САПР применяется три метода триангуляции

  • метод основанный на применении треугольных  конечных элементов (треугольная триангуляция). Для 3D моделей аналогом этих элементов является тетраэдры и треугольные призмы.
  • метод, основанный на максимально возможном включении в конечно-элементную сетку прямоугольных и четырехугольных КЭ (четырехугольная триангуляция).
  • метод, основанный на организации регулярных включений в местах концентрации напряжений или усилий (адаптивная четырехугольная триангуляция).

Для 3D моделей аналогом четырехугольных элементов является параллелепипеды и восьмиугольные трехмерные КЭ.

В качестве исходных данных для реализации в ПК ЛИРА САПР методов триангуляции  используется следующая информация:

  1. Внешний контур разбиваемой физической области
  2. Информация о требуемом шаге конечных элементов с возможными облостями сгущения.
  3. Массив внутренних контуров (отверстия или пустоты в триангулируемой области)
  4. Массив дополнительных точек (координаты узлов которые должны присутствовать в результирующей конечно-элементной сети).
  5. Массив дополнительных отрезков (отрезки, с которыми не должны пересекаться ребра конечных элементов).
Рис. 3. Настройки триангуляции и результат генерации различных сеток: треугольной, адаптивной четырехугольной – слева и четырехугольной – справа

Создание согласованной сети конечных элементов В ПК ЛИРА-САПР может быть выполнено тремя способами (или их комбинацией):

  • триангуляция контуров одним из автоматических способов (простой контур, контур с отверстиями, редактор контуров, фрагмент в САПФИР)
  • последовательным вводом сначала узлов элементов расчетной схемы, а затем изображением самих элементов (вводом элементов);
  • использованием регулярных фрагментов по созданию геометрии расчетной схемы.
Рис. 4. Создание и триангуляция произвольного фрагмента схемы с помощью системы «САПФИР».
Основным параметром генерации сеток пластин является шаг, который определяет, максимальную длину ребра треугольника или четырехугольника сетки. Выбор шага триангуляции является для пользователя важной и трудной проблемой. С одной стороны уменьшение размера конечного элемента приводит к уменьшению погрешности дискретизации, с другой стороны к возрастанию погрешностей округления и погрешностей связанных с ухудшением обусловленности матрицы.

Имеется грубая оценка потери точности при округлении: количество десятичных знаков которые теряются в результате факторизации матрицы по Гауссу r=lg10·, где · – размер матрицы канонических уравнений. Так, если исходные величины матрицы составлены с двойной точностью (примерно 15 десятичных знаков), то результат будет содержать 15- r правильных знаков.

В качестве чисто инженерной рекомендации можно рекомендовать назначить шаг триангуляции таким, чтобы наиболее характерный пролет содержал не менее 10 узлов триангуляции.

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Поделиться:
(Нет голосов)

Дмитрий Городецкий

Кандидат технических наук - специальность "САПР".
Руководитель проекта "МКЭ-процессор ЛИРА-САПР". Руководитель проекта МОНОМАХ-САПР.

Другие публикации этого автора

Марина Ромашкина

Кандидат технических наук - специальность "Строительные конструкции, здания и сооружения".
Сопровождение программного комплекса ЛИРА-САПР.

Другие публикации этого автора


Комментарии



Материалы по теме:

24.05.2017

Конструктивная нелинейность. Односторонние связи. Проблемы реализации.

Рассматриваются различные виды конструктивной нелинейности. Особое внимание уделяется проблеме односторонних связей. Приводится универсальный алгоритм расчета систем включающих односторонние связи. Пр...

25.04.2017

Возможности применения суперэлементов при решении различных задач строительной механики

Если рассчитываемая система слишком громоздка, то иногда оказывается удобным организовать рекурсивный расчет с расчленением всей системы на подсистемы - суперэлементы. Этот прием может оказаться удачн...