Глобальные, местные, локальные системы координат, углы чистого вращения


Системы координат:
Глобальная
система координат, в которой определена вся схема модели.
Местная
система координат, связанная с главными осями отдельного конечного элемента.
Локальная
система координат, связанная с главными осями отдельного узла.

Модели и их компоненты в программном комплексе описываются в координатных осях следующих типов: глобальных, местных и локальных.

Это специфические понятия, связанные с особенностями формирования модели. Но предварительно укажем следующее: названные оси не является новой неизвестной системой координат. Речь идет о том, как связана модель в целом и ее компоненты с применяемой координатной системой (принята декартовая правая система).

Глобальная система координат (g) предназначена для задания общей геометрии системы – координат узлов, ориентации некоторых нагрузок, ориентации местных (m) и локальных (l) систем координат. Глобальная система координат может быть декартовой, сферической, цилиндрической или другой системой, которая может быть задана аналитически.

Глобальная декартова система координат обозначается в программном комплексе XYZ. Эта система принята по умолчанию, ее пиктограмма выводится в левом нижнем углу рабочего окна.

Местная система координат задается для конечного элемента и предназначена для ориентации конечного элемента относительно глобальной системы координат, удобства построения матрицы жесткости, задания местной нагрузки, определения напряжений и усилий. Как правило, местная система координат – декартова.

Все конечные элементы ПК ЛИРА-САПР, имеющие более одного узла (одноузловые КЭ также есть в программном комплексе) ориентированы в местной системе координат.

Локальная система координат (безусловно, здесь можно говорить о некоторой тавтологии – «местная» и «локальная», по сути, обозначают одно и тоже, однако будем считать, что это издержки терминологии) задается для узла и предназначена для ориентации некоторых его атрибутов: узловой нагрузки, узловых перемещений, наложенных связей. Как правило, локальная система координат тоже декартова. Реализации различных сочетаний этих систем предоставляет много удобств при составлении компьютерных моделей.

Пользователь ПК ЛИРА-САПР может манипулировать тремя типами систем координат в различных сочетаниях. Так, например, для гидростатического давления на цилиндрический резервуар удобно задавать местную нагрузку на конечные элементы в местной системе координат, а при нагрузке от собственного веса удобно задавать нагрузку в глобальной системе координат. Если необходимо задать узловую нагрузку, связь, или организовать расчет на заданное перемещение, направление которых не совпадает с осями глобальной системы, то в соответствующий узел вводится локальная система координат с нужными направлениями.

Рис. 1 Фрагмент расчетной схемы полусферического резервуара.png

Рис. 1 Фрагмент расчетной схемы полусферического резервуара

Алгоритмы построения матриц жесткости (МЖ) и приведение местной нагрузки к узловой удобно организовывать в местной системе координат. Это касается как использования аналитического вида МЖ (для каждого элемента МЖ имеется формула) так и при численном интегрировании. Для ориентации местной системы координат КЭ имеющих более двух узлов достаточно иметь координаты трех узлов.

Например, ось Хm проводится через первые два узла (рис. 2), ось Ym совпадает с направлением перпендикуляра к оси Xm, проходящего через третий узел, а ось Zm образует правую тройку.

Рис.2.png

Рис. 2

При этом матрица направляющих косинусов (Cmg), на основе которой производится перевод атрибутов КЭ (матрица жесткости, местная нагрузка и др.) из местной системы координат в общую имеет вид:

Глобал.



Местн.

X

Y

Z

1

2

3

Хm

1

cos1.1

cos1.2

cos1.3

Ym

2

cos2.1

cos2.2

cos2.3

Zm

3

cos3.1

cos3.2

cos3.3

Компоненты этой матрицы вычисляются по координатам трех узлов элемента (см. рис 2) в глобальной системе координат по следующим формулам:


1.png

где 2.png – длина отрезка 1–2,

3.png – длина перпендикуляра из узла 3 на 1–2, 4.png

X2, Y2, Z2, X3, Y3, Z3 – координаты в глобальной системе 2 и 3 узлов относительно узла 1, т.е. X2=X2 – X1 и т.д.

Для двухузловых элементов, а их класс очень велик (стержневые элементы), координат двух узлов недостаточно для построения такой матрицы косинусов, для этого еще необходима дополнительная информация, например, угол чистого вращения, определяющий положение главных осей сечения стержня относительно глобальной системы координат (рис. 3).

Как правило, ось Xm совпадает с осью стержня (рис. 3а), а оси Ym и Zm являются главными осями сечения стержня. Обычно их ориентация определяется углом чистого вращения (устоявшийся термин строительной механики стержневых систем), который является углом между одной из главных осей сечения (например, Ym) и осью ОА (пересечение плоскости поперечного сечения стержня, которая ортогональна оси Xm, с плоскостью Х0Y глобальной системы координат).

Рис. 3.png

Рис. 3

Очень часто направление Ym задают третьим узлом, тогда построение Cmg для стержня аналогично элементу пластины.

Для задания локальной системы координат необходимо задание матрицы Clg направляющих косинусов между осями локальной и глобальной систем координат. Если матрица Cmg для элементов, имеющих более двух узлов может быть построена на основе имеющихся координат узлов, заданных в глобальной системе координат, то при задании Cmg для стержня, а также Clg нужна дополнительная информация, поэтому программный комплекс должен предоставлять пользователю удобный инструментарий для его задания.

При составлении канонических уравнений МКЭ матрицы жесткости Km и векторы местной нагрузки Рm, приведенной к узловой, необходимо переводить в глобальную систему координат, а если узел имеет локальную систему координат, то этот перевод необходимо произвести с учетом локальной системы координат. Этот перевод производится по следующей схеме:

Сmg – матрица косинусов для перевода компонентов Km и Рm из местной в глобальную систему координат;

Сgl – матрица косинусов для перевода компонентов Km и Рm из глобальной в локальную систему координат.

Очевидно, что 51.png

Кроме того, 52.png

Тогда для перевода вектора из местной системы координат в локальную используется матрица 6.png

Для преобразования матрицы жесткости в местной системе координат Km в матрицу жесткости в локальной системе координат Kl

7.png

Для вектора правых частей:

8.png

Для преобразования Km в матрицу жесткости относительно глобальной системы координат используется формула:

91.png, a для вектора правых частей 92.png

Перевод параметров НДС из одной системы координат в другую производится во многих случаях, например, вычисленные в местной системе координат напряжения (усилия) перед построением изолиний и изополей должны быть переведены в глобальную систему, а при построении главных напряжений должны быть указаны их направления относительно глобальной системы координат и т.п.



Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

  • 1.3K
Поделиться публикацией:

Александр Городецкий

Академик РААСН, доктор технических наук, профессор. Автор и руководитель разработки программных комплексов семейства Лира

Другие публикации этого автора

Марина Ромашкина

Кандидат технических наук - специальность "Строительные конструкции, здания и сооружения".
Сопровождение программного комплекса ЛИРА-САПР.

Другие публикации этого автора


Комментарии